Kjell is geboren en getogen in Bertem. Hij trad in de politieke voetsporen van zijn vader Joël Vander Elst, burgemeester van Bertem en gewezen provincieraadslid in Vlaams-Brabant.
In 2019 behaalde Kjell een master in de politieke wetenschappen aan de Vrije Universiteit Brussel. Van 2019 tot 2023 was Kjell Vander Elst inhoudelijk medewerker van Kamerlid Tim Vandenput, voor wie hij binnenlandse zaken en de luchthavendossiers opvolgde. Daarna was hij van 2023 tot 2024 raadgever binnenlands bestuur op het kabinet van de Vlaamse viceminister-presidenten Bart Somers en Gwendolyn Rutten. Hij werd in 2020 politiek secretaris van Open Vld in de regio Leuven en in 2022 voorzitter van de lokale Open Vld-afdeling in Bertem.
Bij de federale verkiezingen van 9 juni 2024 stond hij op de tweede plaats van de Open Vld-lijst in Vlaams-Brabant — en met succes: hij werd verkozen tot federaal volksvertegenwoordiger.
